Questão 3. Mostre que y(x, t)=\operatorname{sen}(2 x) \cos (3 t) é uma solução particular de
4 \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=9 \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a PDE
4\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=9\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
e propõe a função \,y(x,t)=\sin(2x)\cos(3t). O que vamos fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem em t e em x e verificar que, ao substituí-las, a igualdade se mantém.

Passo 2

Para \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} note que \sin(2x) é constante em relação a t. Primeiro calculamos
\frac{\partial y}{\partial t} =\sin(2x)\,\bigl(-3\sin(3t)\bigr) =-3\sin(2x)\sin(3t).
Em seguida, derivando novamente em t:
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} =-3\sin(2x)\cdot3\cos(3t) =-9\sin(2x)\cos(3t) =-9y.

Passo 3

Para \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} observe que \cos(3t) é constante em relação a x. Primeiro
\frac{\partial y}{\partial x} =2\cos(2x)\cos(3t).
Derivando de novo em x:
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} =-4\sin(2x)\cos(3t) =-4y.

Passo 4

Substituindo na PDE:
4\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} =4(-9y) =-36y
e
9\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} =9(-4y) =-36y.
Como os dois lados coincidem, concluímos que \,y(x,t)=\sin(2x)\cos(3t) satisfaz a equação dada.

Resposta

A função \,y(x,t)=\sin(2x)\cos(3t) é de fato uma solução particular da PDE.

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