\int_{0}^{\pi / 12} \frac{3 \operatorname{sec} ^{2}(3 x)}{1+\tan (3 x)} d x
Subst.: u=1+\tan (3 x) \Rightarrow d u=3 \operatorname{sec} ^{2}(3 x) d x. Limites: 1 \rightarrow 2.
\int_{1}^{2} \frac{d u}{u}=\ln 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/12} \frac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{1+\tan(3x)} \,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + \tan(3x).
Diferenciando, obtemos
du = 3\operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx.
Isso mostra que 3\operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx = du, exatamente o que aparece no numerador.

Passo 3

Precisamos atualizar os limites de integração em termos de u.
Para x=0: \tan(3\cdot0)=0 então u=1+0=1.
Para x=\pi/12: \tan(3\cdot\pi/12)=\tan(\pi/4)=1 então u=1+1=2.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos
\int_{0}^{\pi/12} \frac{3\operatorname{sec}^{2}(3x)}{1+\tan(3x)}\,dx = \int_{1}^{2} \frac{du}{u}.

Passo 5

A integral de 1/u é o logaritmo natural. Logo,
\int_{1}^{2} \frac{du}{u} = \bigl[\ln|u|\bigr]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2).

Resposta

\ln 2

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