\int_{0}^{\pi / 12} \operatorname{sec} ^{2}(3 x) d x
Subst.: u=3 x \Rightarrow d u=3 d x \Rightarrow d x=\frac{d u}{3}. Limites: 0 \rightarrow \pi / 4.
\frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} ^{2} u d u=\left.\frac{1}{3} \tan u\right|_{0} ^{\pi / 4}=\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{\pi/12} \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição simples e a ideia de que \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}u\,du = \tan u + C.

Passo 2

Fazemos a substituição \,u = 3x, logo \,du = 3\,dx e \,dx = \tfrac{du}{3}.
Os limites em x transformam-se em limites em u: x=0 \Rightarrow u=0 e x=\pi/12 \Rightarrow u=\pi/4.
Assim obtemos
\int_{0}^{\pi/12} \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx = \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}u\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}u\,du.

Passo 3

Reconhecemos que a primitiva de \operatorname{sec}^{2}u é \tan u. Portanto
\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}u\,du = \frac{1}{3}\bigl[\tan u\bigr]_{0}^{\pi/4}.

Passo 4

Avalia-se nos limites: \tan(\pi/4)=1 e \tan(0)=0.
Logo
\frac{1}{3}\bigl(1-0\bigr) = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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