\int_{0}^{\pi / 12} \operatorname{sec} ^{2}(3 x) d x
Subst.: u=3 x \Rightarrow d u=3 d x \Rightarrow d x=\frac{d u}{3}. Limites: 0 \rightarrow \pi / 4. \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} ^{2} u d u=\left.\frac{1}{3} \tan u\right|_{0} ^{\pi / 4}=\frac{1}{3}.
Passo 1
O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{\pi/12} \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição simples e a ideia de que \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}u\,du = \tan u + C.
Passo 2
Fazemos a substituição \,u = 3x, logo \,du = 3\,dx e \,dx = \tfrac{du}{3}.
Os limites em x transformam-se em limites em u: x=0 \Rightarrow u=0 e x=\pi/12 \Rightarrow u=\pi/4.
Assim obtemos