\int_{0}^{\sqrt{\ln 5}} 2 x e^{x^{2}} d x
Subst.: u=x^{2} \Rightarrow d u=2 x d x. Limites: 0 \rightarrow \ln 5.
\int_{0}^{\ln 5} e^{u} d u=\left.e^{u}\right|_{0} ^{\ln 5}=5-1=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{0}^{\sqrt{\ln 5}} 2x\,e^{x^{2}}\,dx.
O conteúdo usado é a técnica de substituição, em que identificamos uma parte da expressão cujo diferencial aparece multiplicando-a.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx.
Com isso, o termo 2x\,dx é exatamente du, e muda-se a variável de integração de x para u.

Passo 3

Precisamos também ajustar os limites de integração. Quando x=0, temos u=0^{2}=0. Quando x=\sqrt{\ln 5}, temos u=(\sqrt{\ln 5})^{2}=\ln 5. Assim, a integral em x vira
\int_{0}^{\sqrt{\ln 5}}2x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\ln 5}e^{u}\,du.

Passo 4

A integral de e^{u} é ela mesma, então
\int_{0}^{\ln 5}e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{\ln 5} =e^{\ln 5}-e^{0} =5-1=4.

Resposta

4

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