\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} d x
Subst.: u=1+e^{x} \Rightarrow d u=e^{x} d x. Limites: 2 \rightarrow 3.
\int_{2}^{3} \frac{d u}{u}=\ln 3-\ln 2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição (mudança de variável).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + e^{x}\quad\Rightarrow\quad du = e^{x}\,dx.
Quando x=0, temos u(0)=1+e^{0}=2.
Quando x=\ln 2, temos u(\ln 2)=1+e^{\ln 2}=1+2=3.
Assim a integral em x vira em u:
\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = \int_{2}^{3}\frac{1}{u}\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert.
Logo
\int_{2}^{3}\frac{1}{u}\,du = \bigl[\ln\lvert u\rvert\bigr]_{2}^{3} = \ln 3 - \ln 2.

Passo 4

Podemos combinar a diferença de logaritmos:
\ln 3 - \ln 2 = \ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\frac{3}{2}

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