\int \frac{x+5}{2 x^{2}+4 x+3} d x \

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x+5}{2 x^{2}+4 x+3}\,dx.
Informações dadas:
  • O numerador é x+5.
  • O denominador é o polinômio quadrático 2x^{2}+4x+3.
    O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Estratégia (explicação didática, passo a passo):
  • Para integrar uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador (aqui grau 1 sobre grau 2), uma técnica padrão é decompor o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte restante constante. Isso é útil porque:
    • Se escrevemos a fração como \dfrac{A\cdot D'(x)}{D(x)} então \int \dfrac{D'(x)}{D(x)}\,dx=\ln|D(x)|.
    • O resto que sobrar normalmente leva a uma integral do tipo \int \dfrac{1}{\text{quadrático}}á, que costuma resultar em arco-tangente após completar o quadrado.
  • Aplicaremos essa ideia ao caso concreto com D(x)=2x^{2}+4x+3.

Passo 3

Fazer a decomposição do numerador:
  • Calcular a derivada do denominador:
D(x)=2x^{2}+4x+3,\qquad D'(x)=4x+4.
  • Procuramos constantes \alpha e \beta tais que
\frac{x+5}{2x^{2}+4x+3}=\alpha\cdot\frac{4x+4}{2x^{2}+4x+3}+\frac{\beta}{2x^{2}+4x+3}.
  • Igualando numeradores:
x+5=\alpha(4x+4)+\beta = 4\alpha x + 4\alpha + \beta.
  • Comparando coeficientes de x e termos constantes:
4\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\tfrac{1}{4},
4\alpha + \beta = 5 \quad\Rightarrow\quad 1 + \beta = 5 \quad\Rightarrow\quad \beta = 4.
  • Logo a decomposição é
\frac{x+5}{2x^{2}+4x+3}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4x+4}{2x^{2}+4x+3}+\frac{4}{2x^{2}+4x+3}.

Passo 4

Integrar a primeira parcela:
\int \frac{1}{4}\cdot\frac{4x+4}{2x^{2}+4x+3}\,dx=\frac{1}{4}\int \frac{D'(x)}{D(x)}\,dx.
Usando a fórmula básica \displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|, obtemos
\frac{1}{4}\ln\bigl|2x^{2}+4x+3\bigr|.
(Explicando: isso funciona porque derivando \ln|D(x)| D'(x)/D(x).)

Passo 5

Integrar a segunda parcela: preparar completando o quadrado.
  • Considerar a integral
\int \frac{4}{2x^{2}+4x+3}\,dx.
  • Completar o quadrado no denominador. Primeiro fatorar o 2 dos termos quadrático e linear:
2x^{2}+4x+3 = 2\bigl(x^{2}+2x\bigr)+3.
  • Completar o quadrado em x^{2}+2x:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
  • Substituindo:
2x^{2}+4x+3 = 2\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)+3 = 2(x+1)^{2}-2+3 = 2(x+1)^{2}+1.
  • Então a integral fica
\int \frac{4}{2(x+1)^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Fazer a substituição e usar a fórmula do arco-tangente:
  • Seja u=x+1, então du=dx. A integral transforma-se em
\int \frac{4}{2u^{2}+1}\,du.
  • Escrever 2u^{2}+1 = (\sqrt{2}\,u)^{2}+1. Há a fórmula padrão
\int \frac{1}{a^{2}u^{2}+1}\,du = \frac{1}{a}\arctan(a u) + C,
onde a>0. Aqui a=\sqrt{2}.
  • Aplicando a fórmula:
\int \frac{1}{2u^{2}+1}\,du = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\bigl(\sqrt{2}\,u\bigr)+C.
  • Multiplicando pelo fator 4:
\int \frac{4}{2u^{2}+1}\,du = 4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\bigl(\sqrt{2}\,u\bigr)+C = \frac{4}{\sqrt{2}}\arctan\bigl(\sqrt{2}(x+1)\bigr)+C.
  • Simplificando \dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}, obtemos
2\sqrt{2}\,\arctan\bigl(\sqrt{2}(x+1)\bigr).

Passo 7

Juntar as duas parcelas e escrever a primitiva completa:
  • Somando os resultados dos Passos 4 e 6, a integral original é
\int \frac{x+5}{2x^{2}+4x+3}\,dx = \frac{1}{4}\ln\bigl|2x^{2}+4x+3\bigr| + 2\sqrt{2}\,\arctan\bigl(\sqrt{2}(x+1)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{1}{4}\ln\bigl|2x^{2}+4x+3\bigr| + 2\sqrt{2}\,\arctan\bigl(\sqrt{2}(x+1)\bigr) + C

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