-
,
é qualquer caminho de
a
- Suponha que você seja solicitado a determinar a curva que exige o mínimo de trabalho para um campo de força
para mover uma partícula de um ponto a outro ponto. Você decide verificar primeiro se
é conservativo, e de fato verifica-se que ela é. Como você responde à solicitação?
- Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força
para mover uma partícula do ponto
para o ponto de
ao longo de uma curva
é de 1,2
e do trabalho realizado por
em mover a partícula ao longo de outra curva
entre os mesmos dois pontos é de
. O que você pode dizer sobre
? Por quê?
Passo 1
Questões dadas e o que pedem:
-
Exercício 20: Calcular
, onde é qualquer caminho de a . Informação relevante: o integrando pode ser visto como uma forma diferencial ou um campo vetorial com e . Pergunta: valor do integral de linha entre os pontos dados (para qualquer curva). -
Exercício 21: Diz-se que
é conservativo e pedem: determinar a curva que exige o mínimo de trabalho para levar uma partícula de um ponto a outro. Informação: é conservativa (dado). -
Exercício 22: Dados experimentais: trabalho de
ao mover partícula de a ao longo de é e ao longo de é . Pergunta: o que se pode dizer sobre e por quê.
Passo 2
Vamos resolver o Exercício 20 passo a passo. Primeiro identifique o campo e verifique se é conservativo (isso determina se o integral é independente do caminho).
- Identificação: tome
com
- Teste de conservatividade (no plano): para que
seja conservativa num domínio simplesmente conexo, é suficiente que as derivadas parciais satisfaçam
Calcule cada uma:
Como
para todo
, o campo é conservativo em
(o plano é simplesmente conexo), então o integral é independente do caminho e podemos usar uma função potencial.
Passo 3
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
Método prático para encontrar
: integre
em relação a
(tratando
como constante), depois ajuste com função de
que aparece como “constante de integração”.
- Integre
em :
onde
é uma função arbitrária dependendo só de
. Então
- Agora use
. Calcule :
Igualando a
obtemos
, então
é constante. Podemos escolher a constante
(não afeta diferenças de potencial). Portanto, uma potencial válida é
Passo 4
Avalie o integral pelo teorema fundamental para campos conservativos: a integral de linha de
entre dois pontos é a diferença da potencial nos extremos:
Calcule os valores:
- Em
:
- Em
:
- Diferença:
Portanto o valor do integral pedido é
(ou, se preferir,
). Dica rápida para prova: sempre que o teste
valer num domínio simplesmente conexo, ache a potencial integrando
em
e ajustando com uma função de
.
Passo 5
Agora o Exercício 21. Interprete a pergunta: você quer a curva que minimize o trabalho para um campo de força
, sabendo que
é conservativo.
- Conceito importante: para campos conservativos o trabalho realizado ao deslocar uma partícula entre dois pontos depende somente dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Em termos matemáticos, se
, então
independente de
.
- Consequência direta: não existe uma curva “que minimize” o trabalho no sentido de ser diferente das outras — todas as curvas que ligam os mesmos pontos exigem o mesmo trabalho. Logo qualquer curva entre os pontos dá o mesmo trabalho mínimo (e máximo): não há vantagem de escolher uma curva específica.
Física/intuicional: em um campo conservativo (por exemplo, campo gravitacional ideal), o trabalho para elevar um objeto entre dois pontos depende apenas da diferença de energia potencial, não de como você o carregou.
Passo 6
Exercício 22. Dados: trabalho ao longo de
é
e ao longo de
é
, entre os mesmos pontos
e
. O que isso implica sobre
?
-
Se
fosse conservativo, o trabalho entre os mesmos pontos seria necessariamente igual para qualquer curva (pela propriedade do campo conservativo). Aqui os trabalhos são diferentes ( e ), logo isso contradiz a propriedade de um campo conservativo. -
Conclusão:
não é conservativo. Outra forma de ver: o integral ao redor do laço formado por seguido de no sentido inverso é , diferente de zero, indicando circulação não nula — característica de um campo não conservativo.
Resposta
Qualquer curva entre os pontos; o trabalho é o mesmo para todas (depende apenas dos pontos finais).