1. \int_{C}\left(1-y e^{-\mathrm{x}}\right) d x+e^{-\mathrm{x}} d y,
    C é qualquer caminho de (0,1) a (1,2)
  2. Suponha que você seja solicitado a determinar a curva que exige o mínimo de trabalho para um campo de força \mathbf{F} para mover uma partícula de um ponto a outro ponto. Você decide verificar primeiro se \mathbf{F} é conservativo, e de fato verifica-se que ela é. Como você responde à solicitação?
  3. Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força \mathbf{F} para mover uma partícula do ponto (1,2) para o ponto de (5,-3) ao longo de uma curva C_{1} é de 1,2 \mathbf{J} e do trabalho realizado por \mathbf{F} em mover a partícula ao longo de outra curva C_{2} entre os mesmos dois pontos é de 1,4 \mathbf{J}. O que você pode dizer sobre \mathbf{F} ? Por quê?

Passo 1

Questões dadas e o que pedem:
  • Exercício 20: Calcular \displaystyle \int_{C}\left(1-y e^{-\mathrm{x}}\right) d x+e^{-\mathrm{x}} d y, onde C é qualquer caminho de (0,1) a (1,2). Informação relevante: o integrando pode ser visto como uma forma diferencial ou um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) com P(x,y)=1-ye^{-x} e Q(x,y)=e^{-x}. Pergunta: valor do integral de linha entre os pontos dados (para qualquer curva).
  • Exercício 21: Diz-se que \mathbf{F} é conservativo e pedem: determinar a curva que exige o mínimo de trabalho para levar uma partícula de um ponto a outro. Informação: \mathbf{F} é conservativa (dado).
  • Exercício 22: Dados experimentais: trabalho de \mathbf{F} ao mover partícula de (1,2) a (5,-3) ao longo de C_1 é 1{,}2\\ \text{J} e ao longo de C_2 é 1{,}4\\ \text{J}. Pergunta: o que se pode dizer sobre \mathbf{F} e por quê.

Passo 2

Vamos resolver o Exercício 20 passo a passo. Primeiro identifique o campo e verifique se é conservativo (isso determina se o integral é independente do caminho).
  • Identificação: tome \mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr) com
P(x,y)=1-ye^{-x},\qquad Q(x,y)=e^{-x}.
  • Teste de conservatividade (no plano): para que \mathbf{F} seja conservativa num domínio simplesmente conexo, é suficiente que as derivadas parciais satisfaçam
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calcule cada uma:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(1-ye^{-x}\bigr) = -e^{-x},
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}\bigr) = -e^{-x}.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} para todo (x,y), o campo é conservativo em \mathbb{R}^2 (o plano é simplesmente conexo), então o integral é independente do caminho e podemos usar uma função potencial.

Passo 3

Como \mathbf{F} é conservativo, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y).
Método prático para encontrar \varphi: integre P em relação a x (tratando y como constante), depois ajuste com função de y que aparece como “constante de integração”.
  • Integre P em x:
\varphi(x,y)=\int\bigl(1-ye^{-x}\bigr)\,dx = x - y\int e^{-x}\,dx = x - y(-e^{-x}) + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária dependendo só de y. Então
\varphi(x,y)=x + y e^{-x} + h(y).
  • Agora use \phi_y=Q. Calcule \phi_y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=e^{-x}+h'(y).
Igualando a Q(x,y)=e^{-x} obtemos h'(y)=0, então h(y) é constante. Podemos escolher a constante 0 (não afeta diferenças de potencial). Portanto, uma potencial válida é
\varphi(x,y)=x + y e^{-x}.

Passo 4

Avalie o integral pelo teorema fundamental para campos conservativos: a integral de linha de \mathbf{F} entre dois pontos é a diferença da potencial nos extremos:
\int_{C}\bigl(1-ye^{-x}\bigr)\,dx + e^{-x}\,dy = \varphi\bigl(1,2\bigr)-\varphi\bigl(0,1\bigr).
Calcule os valores:
  • Em (1,2):
\varphi(1,2)=1 + 2e^{-1}.
  • Em (0,1):
\varphi(0,1)=0 + 1\cdot e^{0}=1.
  • Diferença:
\varphi(1,2)-\varphi(0,1) = \bigl(1+2e^{-1}\bigr)-1 = 2e^{-1}.
Portanto o valor do integral pedido é 2e^{-1} (ou, se preferir, \dfrac{2}{e}). Dica rápida para prova: sempre que o teste \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x valer num domínio simplesmente conexo, ache a potencial integrando P em x e ajustando com uma função de y.

Passo 5

Agora o Exercício 21. Interprete a pergunta: você quer a curva que minimize o trabalho para um campo de força \mathbf{F}, sabendo que \mathbf{F} é conservativo.
  • Conceito importante: para campos conservativos o trabalho realizado ao deslocar uma partícula entre dois pontos depende somente dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Em termos matemáticos, se \mathbf{F}=\nabla\varphi, então
W_{A\to B}=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A),
independente de C.
  • Consequência direta: não existe uma curva “que minimize” o trabalho no sentido de ser diferente das outras — todas as curvas que ligam os mesmos pontos exigem o mesmo trabalho. Logo qualquer curva entre os pontos dá o mesmo trabalho mínimo (e máximo): não há vantagem de escolher uma curva específica.
Física/intuicional: em um campo conservativo (por exemplo, campo gravitacional ideal), o trabalho para elevar um objeto entre dois pontos depende apenas da diferença de energia potencial, não de como você o carregou.

Passo 6

Exercício 22. Dados: trabalho ao longo de C_1 é 1{,}2\\ \text{J} e ao longo de C_2 é 1{,}4\\ \text{J}, entre os mesmos pontos (1,2) e (5,-3). O que isso implica sobre \mathbf{F}?
  • Se \mathbf{F} fosse conservativo, o trabalho entre os mesmos pontos seria necessariamente igual para qualquer curva (pela propriedade do campo conservativo). Aqui os trabalhos são diferentes ( 1{,}2 e 1{,}4), logo isso contradiz a propriedade de um campo conservativo.
  • Conclusão: \mathbf{F} não é conservativo. Outra forma de ver: o integral ao redor do laço formado por C_1 seguido de C_2 no sentido inverso é 1{,}2-(1{,}4)=-0{,}2\\ \text{J}, diferente de zero, indicando circulação não nula — característica de um campo não conservativo.

Resposta

2e^{-1}
Qualquer curva entre os pontos; o trabalho é o mesmo para todas (depende apenas dos pontos finais).
\mathbf{F} não é conservativa.

Exercícios relacionados