Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências ( a_{n} ) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=\frac{n}{(\ln n)^{0.5}}\

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n}{(\ln n)^{0.5}}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, quando possível, calcular o limite. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A sequência está escrita em termos de n e de \ln n (logaritmo natural).
  • Para que (\ln n)^{0.5} (ou seja, \sqrt{\ln n}) esteja bem definida e diferente de zero, devemos tomar n\ge 2. Portanto consideramos a sequência para n\in\mathbb{N} com n\ge 2.
  • Objetivo: decidir convergência/ divergência e, se convergir, encontrar o limite; se divergir, dizer para onde diverge (por exemplo, para +\infty).

Passo 2

Ideia geral e teste que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Intuição: n cresce muito mais rápido que \ln n. Então a razão n/(\ln n)^{0.5} tende a crescer sem limite — mas vamos provar isso rigorosamente.
  • Ferramenta que usaremos: um argumento de comparação de sequências. O princípio é: \text{Se }b_{n}\to+\infty\text{ e existe }N\text{ tal que }a_{n}\ge b_{n}\text{ para todo }n\ge N,\text{ então }a_{n}\to+\infty.ãExplicando: se uma sequência b_{n} fica arbitrariamente grande e, a partir de certo índice, a_{n} é sempre maior ou igual a b_{n}, então a_{n} também fica arbitrariamente grande — ou seja, diverge para +\infty.
  • Plano prático: encontrar uma sequência simples b_{n} que tende a +\infty e que seja menor ou igual a a_{n} quando n é grande. Uma boa escolha será b_{n}=n^{1/2} (a raiz quadrada de n), porque conhecemos facilmente que n^{1/2}\to+\infty.

Passo 3

Mostrar a desigualdade que permite a comparação: para n\ge 1 vale
\ln n \le n.
Prova curta e didática dessa desigualdade: considere a função g(x)=x-\ln x para x>0.
  • A derivada é g'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}.
  • Para x\ge 1 temos g'(x)\ge 0, ou seja, g é crescente em [1,\infty).
  • Como g(1)=1-\ln 1=1-0=1\ge 0 e g é crescente para x\ge 1, segue que g(x)\ge 1 para todo x\ge 1. Em particular, g(n)=n-\ln n\ge 0 para todo n\ge 1.
  • Portanto \ln n \le n para todo n\ge 1. (Isso é uma desigualdade clássica e muito útil.)

Passo 4

A partir de \ln n \le n obtenha uma desigualdade envolvendo (\ln n)^{0.5}:
  • Como \ln n\ge 0 para n\ge 1, podemos extrair raiz quadrada preservando a desigualdade: (\ln n)^{0.5} \le n^{0.5}.
  • Agora divida n por ambos os lados dessa desigualdade (todos os termos são positivos para n\ge 2), invertendo a direção da desigualdade ao dividir por um número positivo? Atenção: aqui estamos comparando denominadores — a forma mais direta é escrever \frac{n}{(\ln n)^{0.5}} \ge \frac{n}{n^{0.5}}.Porque para 0<u\le v e n>0 temos n/u \ge n/v. Aplicando com u=(\ln n)^{0.5} e v=n^{0.5} (e lembrando que 0<(\ln n)^{0.5}\le n^{0.5}), concluímos: a_{n}=\frac{n}{(\ln n)^{0.5}} \ge \frac{n}{n^{0.5}} = n^{0.5}.

Passo 5

Mostrar que a sequência comparada tende a +\infty:
  • A sequência b_{n}=n^{0.5} (ou \sqrt{n}) é uma função potência com expoente positivo. Sabemos que para qualquer p>0 vale \lim_{n\to\infty} n^{p}=+\infty. Intuitivamente, conforme n cresce, \sqrt{n} cresce sem limite.
  • Mais formal: para qualquer M>0 basta escolher N=M^{2}. Se n\ge N então n^{0.5}\ge\sqrt{N}=M. Isso mostra que n^{0.5}\to+\infty.

Passo 6

Concluir pela comparação:
  • Temos mostrado que existe N (por exemplo N=2) tal que para todo n\ge N, a_{n} \ge n^{0.5}e que n^{0.5}\to+\infty.
  • Pelo critério de comparação explicado no Passo 2, segue que a_{n}\to+\infty.
  • Portanto a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{n}{(\ln n)^{0.5}} diverge e, mais precisamente, diverge para +\infty.

Resposta

Diverge para +\infty.

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