Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências (
) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, quando possível, calcular o limite. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A sequência está escrita em termos de
e de (logaritmo natural). - Para que
(ou seja, ) esteja bem definida e diferente de zero, devemos tomar . Portanto consideramos a sequência para com . - Objetivo: decidir convergência/ divergência e, se convergir, encontrar o limite; se divergir, dizer para onde diverge (por exemplo, para
).
Passo 2
Ideia geral e teste que vamos usar (explicado de forma didática):
- Intuição:
cresce muito mais rápido que . Então a razão tende a crescer sem limite — mas vamos provar isso rigorosamente. - Ferramenta que usaremos: um argumento de comparação de sequências. O princípio é:
Explicando: se uma sequência fica arbitrariamente grande e, a partir de certo índice, é sempre maior ou igual a , então também fica arbitrariamente grande — ou seja, diverge para . - Plano prático: encontrar uma sequência simples
que tende a e que seja menor ou igual a quando é grande. Uma boa escolha será (a raiz quadrada de ), porque conhecemos facilmente que .
Passo 3
Mostrar a desigualdade que permite a comparação: para
vale
Prova curta e didática dessa desigualdade: considere a função
para
.
- A derivada é
. - Para
temos , ou seja, é crescente em . - Como
e é crescente para , segue que para todo . Em particular, para todo . - Portanto
para todo . (Isso é uma desigualdade clássica e muito útil.)
Passo 4
A partir de
obtenha uma desigualdade envolvendo
:
- Como
para , podemos extrair raiz quadrada preservando a desigualdade: - Agora divida
por ambos os lados dessa desigualdade (todos os termos são positivos para ), invertendo a direção da desigualdade ao dividir por um número positivo? Atenção: aqui estamos comparando denominadores — a forma mais direta é escrever Porque para e temos . Aplicando com e (e lembrando que ), concluímos:
Passo 5
Mostrar que a sequência comparada tende a
:
- A sequência
(ou ) é uma função potência com expoente positivo. Sabemos que para qualquer vale . Intuitivamente, conforme cresce, cresce sem limite. - Mais formal: para qualquer
basta escolher . Se então . Isso mostra que .
Passo 6
Concluir pela comparação:
- Temos mostrado que existe
(por exemplo ) tal que para todo , e que . - Pelo critério de comparação explicado no Passo 2, segue que
. - Portanto a sequência
diverge e, mais precisamente, diverge para .
Resposta
Diverge para
.