-
resp.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de potências de cosseno e seno:
e . - O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, isto é, uma função
tal que . - Não há restrições adicionais (domínio, condições de contorno etc.).
Passo 2
Observação estratégica (por que usar essa técnica).
- Quando temos uma potência ímpar de
ou (aqui tem potência ímpar), uma técnica clássica é “separar” um fator (ou ) e usar a identidade pitagórica para transformar o restante em função da outra razão trigonométrica. Depois faz-se a substituição adequada. - A identidade pitagórica é
logo
- Se guardarmos um fator
, podemos usar a substituição , porque então . Essa substituição transforma trigonometria em polinômio em , que é fácil de integrar.
Passo 3
Separar um fator
e usar a identidade:
Substituindo na integral original obtemos
Passo 4
Fazer a substituição
. Calcular
:
Portanto
. Ao trocar na integral:
Passo 5
Simplificar e integrar o polinômio em
. Primeiro tirar o sinal:
Integrando termo a termo usando a regra
:
Distribuindo o sinal:
Passo 6
Voltar para a variável original:
. Assim a primitiva é
Verificação rápida (opcional mas útil): derivando
que é justamente o integrando, portanto está correto.