1. \int \cos ^{2} x \operatorname{sen}^{3} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\frac{1}{5} \cos ^{5} x-\frac{1}{3} \cos ^{3} x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cos^{2}x\,\operatorname{sen}^{3}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de potências de cosseno e seno: \cos^{2}x e \operatorname{sen}^{3}x.
  • O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{2}x\,\operatorname{sen}^{3}x.
  • Não há restrições adicionais (domínio, condições de contorno etc.).

Passo 2

Observação estratégica (por que usar essa técnica).
  • Quando temos uma potência ímpar de \sin ou \cos (aqui \operatorname{sen}^{3}x tem potência ímpar), uma técnica clássica é “separar” um fator \sin x (ou \cos x) e usar a identidade pitagórica para transformar o restante em função da outra razão trigonométrica. Depois faz-se a substituição adequada.
  • A identidade pitagórica é
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
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\sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
  • Se guardarmos um fator \sin x\,dx, podemos usar a substituição \,u=\cos x, porque então du=-\sin x\,dx. Essa substituição transforma trigonometria em polinômio em u, que é fácil de integrar.

Passo 3

Separar um fator \sin x e usar a identidade:
\operatorname{sen}^{3}x=\operatorname{sen}^{2}x\cdot\operatorname{sen}x=(1-\cos^{2}x)\operatorname{sen}x.
Substituindo na integral original obtemos
\int \cos^{2}x\,\operatorname{sen}^{3}x\,dx = \int \cos^{2}x\,(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen}x\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição u=\cos x. Calcular du:
u=\cos x\quad\Rightarrow\quad du=-\sin x\,dx.
Portanto \sin x\,dx=-du. Ao trocar na integral:
\int \cos^{2}x\,(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen}x\,dx = \int u^{2}(1-u^{2})\cdot(-du).

Passo 5

Simplificar e integrar o polinômio em u. Primeiro tirar o sinal:
\int u^{2}(1-u^{2})(-du)=-\int \bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du.
Integrando termo a termo usando a regra \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C:
-\int \bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du = -\left(\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\right)+C.
Distribuindo o sinal:
-\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}+C = \frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{3}}{3}+C.

Passo 6

Voltar para a variável original: u=\cos x. Assim a primitiva é
\frac{1}{5}\cos^{5}x-\frac{1}{3}\cos^{3}x+C.
Verificação rápida (opcional mas útil): derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{5}\cos^{5}x-\frac{1}{3}\cos^{3}x\right) = \left(-\cos^{4}x\sin x\right)+\left(\cos^{2}x\sin x\right) = \cos^{2}x\sin x\,(1-\cos^{2}x) = \cos^{2}x\,\sin^{3}x,
que é justamente o integrando, portanto está correto.

Resposta

\dfrac{1}{5}\cos^{5}x-\dfrac{1}{3}\cos^{3}x+C

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