1. \int \sin ^{2} u d u=\frac{1}{2} u-\frac{1}{4} \sin 2 u+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função \sin^2 u. O conteúdo principal é uso de fórmula de redução de potência para funções trigonométricas e integração de termos polinomiais em seno e cosseno.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência:
\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}.
Essa fórmula transforma um quadrado de função trigonométrica em soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Substituímos na integral:
\int \sin^2 u \, du = \int \frac{1 - \cos 2u}{2} \, du.
Isso equivale a separar em duas integrais:
\int \sin^2 u \, du = \frac{1}{2} \int 1 \, du \;-\;\frac{1}{2} \int \cos 2u \, du.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\frac{1}{2} \int 1 \, du = \frac{1}{2} u,
\frac{1}{2} \int \cos 2u \, du = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 2u}{2} = \frac{1}{4} \sin 2u.
Note que \int \cos 2u\,du = \tfrac{\sin 2u}{2}.

Passo 5

Juntando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \sin^2 u \, du = \frac{1}{2} u \;-\;\frac{1}{4} \sin 2u + C.

Resposta

\int \sin^2 u \, du = \frac{1}{2} u - \frac{1}{4} \sin 2u + C.

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