1. \int \tan u d u=-\ln |\cos u|+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função \tan u. O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica, e vamos precisar usar a identidade
\tan u = \frac{\sin u}{\cos u}
e, em seguida, um método de substituição simples.

Passo 2

Começamos escrevendo
\int \tan u \,du = \int \frac{\sin u}{\cos u}\,du.
Fazemos a substituição
v = \cos u \quad\Rightarrow\quad dv = -\sin u \,du \quad\Rightarrow\quad \sin u\,du = -\,dv.
Logo,
\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = \int \frac{-\,dv}{v} = -\int \frac{dv}{v} = -\ln\bigl|v\bigr| + C = -\ln\bigl|\cos u\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|\cos u\bigr| + C

Exercícios relacionados