1. \int d x /\left(x^{2}+9\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva indefinida
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}.
Informações dadas:
  • A integranda é \dfrac{1}{(x^{2}+9)^{2}}.
  • É uma integral indefinida (procura-se uma expressão antiderivada mais constante de integração).

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): a expressão no denominador tem a forma x^{2}+a^{2} com a=3. Uma técnica padrão e eficaz para potências de x^{2}+a^{2} é a substituição trigonométrica
x = a\tan\theta,
porque aí surge 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, que simplifica potências do tipo (x^{2}+a^{2}). Vamos usar x=3\tan\theta. Isso transforma a integral em termos de \theta e normalmente deixa uma função trigonométrica simples para integrar.

Passo 3

Fazer a substituição e calcular os elementos:
  • Tome \;x=3\tan\theta\;. Então
dx = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Calcule x^{2}+9:
x^{2}+9 = 9\tan^{2}\theta + 9 = 9\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Agora substitua na integral:
\int \frac{dx}{(x^{2}+9)^{2}} = \int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\bigl(9\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{2}}.
Calcule o denominador ao quadrado:
\bigl(9\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{2} = 81\operatorname{sec}^{4}\theta.
Logo a integral vira
\int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta}{81\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta = \int \frac{3}{81}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{27}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Aqui usei \operatorname{sec}^{2}\theta/\operatorname{sec}^{4}\theta = 1/\operatorname{sec}^{2}\theta = \cos^{2}\theta.

Passo 4

Integrar \cos^{2}\theta. Use a identidade de redução
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Portanto
\frac{1}{27}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{27}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{54}\int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Integre termo a termo:
\frac{1}{54}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right) + C.

Passo 5

Simplificar a parte trigonométrica usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta:
\frac{1}{54}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right) = \frac{1}{54}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right) + C.

Passo 6

Voltar para a variável x. Lembrando que tomamos \;x=3\tan\theta\;, temos
\theta = \arctan\!\left(\frac{x}{3}\right).
Precisamos também de \sin\theta e \cos\theta em termos de x. A partir de \tan\theta=\dfrac{x}{3}:
  • \operatorname{sec}^{2}\theta = 1+\tan^{2}\theta = 1+\dfrac{x^{2}}{9} = \dfrac{x^{2}+9}{9}, então \operatorname{sec}\theta = \dfrac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}.
  • Assim
\cos\theta = \frac{1}{\operatorname{sec}\theta} = \frac{3}{\sqrt{x^{2}+9}}, \qquad \sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{x^{2}+9}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}.
Então
\sin\theta\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\cdot\frac{3}{\sqrt{x^{2}+9}} = \frac{3x}{x^{2}+9}.

Passo 7

Substituir \theta e \sin\theta\cos\theta na antiderivada:
\frac{1}{54}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right) + C = \frac{1}{54}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{1}{54}\cdot\frac{3x}{x^{2}+9} + C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{54}\cdot\frac{3x}{x^{2}+9} = \frac{1}{18}\cdot\frac{x}{x^{2}+9}.
Portanto uma forma final e simples da primitiva é
\boxed{\;\frac{1}{54}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{1}{18}\cdot\frac{x}{x^{2}+9}+C\; }.

Resposta

\dfrac{1}{54}\arctan\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac{1}{18}\dfrac{x}{x^{2}+9}+C

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