Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - É uma integral indefinida (procura-se uma expressão antiderivada mais constante de integração).
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): a expressão no denominador tem a forma
com
. Uma técnica padrão e eficaz para potências de
é a substituição trigonométrica
porque aí surge
, que simplifica potências do tipo
. Vamos usar
. Isso transforma a integral em termos de
e normalmente deixa uma função trigonométrica simples para integrar.
Passo 3
Fazer a substituição e calcular os elementos:
- Tome
. Então
- Calcule
:
- Agora substitua na integral:
Calcule o denominador ao quadrado:
Logo a integral vira
Aqui usei
.
Passo 4
Integrar
. Use a identidade de redução
Portanto
Integre termo a termo:
Passo 5
Simplificar a parte trigonométrica usando
:
Passo 6
Voltar para a variável
. Lembrando que tomamos
, temos
Precisamos também de
e
em termos de
. A partir de
:
-
, então . - Assim
Então
Passo 7
Substituir
e
na antiderivada:
Simplificando o segundo termo:
Portanto uma forma final e simples da primitiva é