1. \int d x /\left(x^{3}+2 x^{2}+x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a antiderivada (primitiva)
\int \frac{dx}{x^{3}+2x^{2}+x}.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}+2x^{2}+x}.
  • O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{x^{3}+2x^{2}+x}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para simplificar a expressão. Observe que
x^{3}+2x^{2}+x = x\,(x^{2}+2x+1).
Note que x^{2}+2x+1 é um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Portanto o denominador factoriza como
x^{3}+2x^{2}+x = x\,(x+1)^{2}.

Passo 3

Como o denominador é o produto de um fator linear simples x e um fator linear repetido (x+1)^{2}, usamos decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{x\,(x+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}},
onde A, B e C são constantes a determinar. A ideia é transformar a integral numa soma de integrais simples.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da identidade anterior por x\,(x+1)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A\,(x+1)^{2} + B\,x\,(x+1) + C\,x.
Essa igualdade vale para todo x. Vou agora encontrar A, B e C.

Passo 5

Determinar as constantes usando valores convenientes de x e comparação de coeficientes.
  1. Tomando x=0 na identidade:
1 = A\,(0+1)^{2} + B\cdot 0\cdot(0+1) + C\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = A.
Logo \displaystyle A=1.
  1. Tomando x=-1:
1 = A\,( -1+1)^{2} + B(-1)(-1+1) + C(-1) \quad\Rightarrow\quad 1 = -C.
Logo \displaystyle C=-1.
  1. Para obter B, compare coeficientes. Expanda o lado direito com A=1 e C=-1:
A\,(x+1)^{2} + B\,x\,(x+1) + C\,x = (1)\,(x^{2}+2x+1) + B(x^{2}+x) + (-1)\,x.
Agrupando termos:
= (1+B)\,x^{2} + (2 + B -1)\,x + 1.
Simplificando o coeficiente de x:
= (1+B)\,x^{2} + (1+B)\,x + 1.
A identidade deve ser igual ao polinômio constante 1, ou seja, os coeficientes de x^{2} e de x devem ser zero. Assim
1+B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-1.
Conferimos: A=1, B=-1, C=-1.

Passo 6

Substituindo essas constantes na decomposição obtemos
\frac{1}{x\,(x+1)^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Portanto a integral original fica
\int \frac{dx}{x^{3}+2x^{2}+x} = \int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right)dx.

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembre das primitivas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C.
  • \displaystyle \int (x+1)^{-2}\,dx = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C.
Aplicando isso:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,
\int \left(-\frac{1}{x+1}\right)dx = -\ln|x+1|,
\int \left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right)dx = -\left(-\frac{1}{x+1}\right) = \frac{1}{x+1}.

Passo 8

Somando as primitivas obtidas e adicionando a constante de integração C, temos
\int \frac{dx}{x^{3}+2x^{2}+x} = \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C.
Opcionalmente, as duas logaritmos podem ser combinadas:
\ln|x| - \ln|x+1| = \ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Portanto uma forma mais compacta é
\ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right| + \frac{1}{x+1} + C.

Resposta

\displaystyle \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C

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