Passo 1
O enunciado pede calcular a antiderivada (primitiva)
Informações dadas e objetivo:
- Temos a integral indefinida
. - O objetivo é encontrar uma função
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para simplificar a expressão. Observe que
Note que
é um quadrado perfeito:
Portanto o denominador factoriza como
Passo 3
Como o denominador é o produto de um fator linear simples
e um fator linear repetido
, usamos decomposição em frações parciais do tipo
onde
,
e
são constantes a determinar. A ideia é transformar a integral numa soma de integrais simples.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da identidade anterior por
obtemos a identidade polinomial
Essa igualdade vale para todo
. Vou agora encontrar
,
e
.
Passo 5
Determinar as constantes usando valores convenientes de
e comparação de coeficientes.
- Tomando
na identidade:
Logo
.
- Tomando
:
Logo
.
- Para obter
, compare coeficientes. Expanda o lado direito com e :
Agrupando termos:
Simplificando o coeficiente de
:
A identidade deve ser igual ao polinômio constante
, ou seja, os coeficientes de
e de
devem ser zero. Assim
Conferimos:
,
,
.
Passo 6
Substituindo essas constantes na decomposição obtemos
Portanto a integral original fica
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Lembre das primitivas básicas:
-
. -
. -
.
Aplicando isso:
Passo 8
Somando as primitivas obtidas e adicionando a constante de integração
, temos
Opcionalmente, as duas logaritmos podem ser combinadas:
Portanto uma forma mais compacta é