1. \int d x /\left(x^{4}+4\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{x^{4}+4}.
Informações dadas e pedido:
  • Integrar a função racional \dfrac{1}{x^{4}+4} em relação a x.
  • Não há condições adicionais — queremos a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador em fatores quadráticos reais simples, para permitir decomposição em frações parciais. Vamos fatorar x^{4}+4.
Observe que
x^{4}+4 = x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}.
Isto é uma diferença de quadrados, então
x^{4}+4 = \bigl(x^{2}+2-2x\bigr)\bigl(x^{2}+2+2x\bigr).
Reescrevendo as parcelas como quadráticas canônicas:
x^{4}+4 = (x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2).

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Como os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis reais, procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{1}{x^{4}+4}=\frac{A x+B}{x^{2}-2x+2}+\frac{C x+D}{x^{2}+2x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2) obtemos a identidade polinomial
1=(Ax+B)(x^{2}+2x+2)+(Cx+D)(x^{2}-2x+2).

Passo 4

Expandimos os dois produtos e somamos termos semelhantes (tudo em display para clareza):
\begin{aligned} (Ax+B)(x^{2}+2x+2) &= A x^{3}+(2A+B)x^{2}+(2A+2B)x+2B,\\[4pt] (Cx+D)(x^{2}-2x+2) &= C x^{3}+(-2C+D)x^{2}+(2C-2D)x+2D. \end{aligned}
Somando:
1=(A+C)x^{3}+\bigl(2A+B-2C+D\bigr)x^{2}+\bigl(2A+2B+2C-2D\bigr)x+(2B+2D).
Igualando coeficientes aos do polinômio constante 1 (ou seja, coeficiente de x^{3},x^{2},x zero e constante igual a 1), obtemos o sistema:
\begin{cases} A+C=0,\\[2pt] 2A+B-2C+D=0,\\[2pt] 2A+2B+2C-2D=0,\\[2pt] 2B+2D=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo.
Da primeira equação \;A+C=0\; tiramos
C=-A.
Da quarta equação \;2B+2D=1\; vem
B+D=\tfrac{1}{2}.
A terceira equação é
2A+2B+2C-2D=0.
Dividindo por 2 e substituindo C=-A resulta
A+B+(-A)-D=B-D=0\quad\Rightarrow\quad B=D.
Como B=D e B+D=\tfrac{1}{2}, segue
2B=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{4},\qquad D=\tfrac{1}{4}.
Voltemos à segunda equação 2A+B-2C+D=0. Substituindo C=-A e B=D=\tfrac{1}{4}:
2A+\tfrac{1}{4}-2(-A)+\tfrac{1}{4}=0
2A+\tfrac{1}{4}+2A+\tfrac{1}{4}=0
4A+\tfrac{1}{2}=0\quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{8}.
Então
C=-A=\tfrac{1}{8}.

Passo 6

Portanto a decomposição encontrada é
\frac{1}{x^{4}+4}=\frac{-\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}}{x^{2}-2x+2}+\frac{\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}}{x^{2}+2x+2}.
Para integrar, vamos separar as duas parcelas e completar quadrados nos denominadores.
Note que
x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1,\qquad x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1.

Passo 7

Trabalhamos a primeira parcela. Defina u=x-1, então du=dx e x=u+1. A primeira fração tem numerador
-\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{8}(u+1)+\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{8}u+\tfrac{1}{8}.
Assim
\frac{-\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}}{x^{2}-2x+2}dx = \left(\frac{-\tfrac{1}{8}u+\tfrac{1}{8}}{u^{2}+1}\right)du = -\tfrac{1}{8}\frac{u}{u^{2}+1}du+\tfrac{1}{8}\frac{1}{u^{2}+1}du.
Integramos termo a termo usando as fórmulas básicas:
\int \frac{u}{u^{2}+1}du=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+1\bigr),\qquad \int\frac{1}{u^{2}+1}du=\arctan u.
Logo a integral da primeira parcela é
-\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+1\bigr)+\tfrac{1}{8}\arctan u = -\tfrac{1}{16}\ln\bigl((x-1)^{2}+1\bigr)+\tfrac{1}{8}\arctan(x-1).

Passo 8

Agora a segunda parcela. Defina v=x+1, então dv=dx e x=v-1. O numerador da segunda fração fica
\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{8}(v-1)+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{8}v+\tfrac{1}{8}.
Portanto
\frac{\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}}{x^{2}+2x+2}dx = \left(\frac{\tfrac{1}{8}v+\tfrac{1}{8}}{v^{2}+1}\right)dv = \tfrac{1}{8}\frac{v}{v^{2}+1}dv+\tfrac{1}{8}\frac{1}{v^{2}+1}dv.
Integrando:
\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{2}\ln\bigl(v^{2}+1\bigr)+\tfrac{1}{8}\arctan v = \tfrac{1}{16}\ln\bigl((x+1)^{2}+1\bigr)+\tfrac{1}{8}\arctan(x+1).

Passo 9

Somando as primitivas das duas parcelas obtemos a primitiva total:
\begin{aligned} \int \frac{dx}{x^{4}+4} &= -\tfrac{1}{16}\ln\bigl((x-1)^{2}+1\bigr)+\tfrac{1}{8}\arctan(x-1)\\[4pt] &\quad +\tfrac{1}{16}\ln\bigl((x+1)^{2}+1\bigr)+\tfrac{1}{8}\arctan(x+1)+C. \end{aligned}
Podemos agrupar os logaritmos:
\frac{1}{16}\ln\!\left(\frac{(x+1)^{2}+1}{(x-1)^{2}+1}\right)
e os arctangentes ficam somados:
\tfrac{1}{8}\bigl(\arctan(x-1)+\arctan(x+1)\bigr).]

Resposta

\int \frac{dx}{x^{4}+4} =\frac{1}{16}\ln\!\left(\frac{(x+1)^{2}+1}{(x-1)^{2}+1}\right) +\frac{1}{8}\bigl(\arctan(x-1)+\arctan(x+1)\bigr)+C

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