\int_{0}^{\ln 5} \frac{e^{x}}{1+\left(e^{x}\right)^{2}} d x
Subst.: u=e^{x} \Rightarrow d u=e^{x} d x. Limites: 1 \rightarrow 5.
\int_{1}^{5} \frac{d u}{1+u^{2}}=\left.\arctan u\right|_{1} ^{5}=\arctan 5-\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\ln 5}\frac{e^{x}}{1+\bigl(e^{x}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo de matéria é integração por substituição, em que vamos escolher uma variável que simplifique a expressão do denominador.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = e^{x}, \quad du = e^{x}\,dx,
a parte e^{x}\,dx do integrando se transforma em du, e o integrando vira
\frac{e^{x}}{1+(e^{x})^{2}}\,dx = \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração:
para x=0 temos u=e^{0}=1,
e para x=\ln 5 temos u=e^{\ln5}=5.
Assim a integral passa a ser
\int_{1}^{5}\frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 4

Reconhecemos que
\int\frac{du}{1+u^{2}}=\arctan u + C.
Logo, a integral definida é
\left.\arctan u\right|_{1}^{5} =\arctan(5)-\arctan(1).

Passo 5

Como \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}, o valor final da integral é
\arctan(5)-\frac{\pi}{4}.

Resposta

\arctan(5)-\frac{\pi}{4}

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