\int_{0}^{\pi / 6} \frac{2 \sin (2 x)}{1+\cos (2 x)} d x
Subst.: u=1+\cos (2 x) \Rightarrow d u=-2 \sin (2 x) d x. Limites: x: 0 \rightarrow \pi / 6 \Rightarrow u: 2 \rightarrow \frac{3}{2}.
-\int_{2}^{3 / 2} \frac{d u}{u}=\int_{3 / 2}^{2} \frac{d u}{u}=\ln \left(\frac{4}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/6} \frac{2\sin(2x)}{1+\cos(2x)}\,dx
usando substituição. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, onde vamos escolher u de modo a simplificar a fração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + \cos(2x).
Como \frac{d}{dx}\bigl(\cos(2x)\bigr) = -2\sin(2x), temos
du = -2\sin(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad 2\sin(2x)\,dx = -\,du.
Então o integrando fica
\frac{2\sin(2x)}{1+\cos(2x)}\,dx = -\frac{du}{u}.

Passo 3

Precisamos trocar os limites de x para u:
quando x=0, u=1+\cos(0)=1+1=2;
quando x=\pi/6, u=1+\cos(\pi/3)=1+\tfrac12=\tfrac32.

Passo 4

A integral em u é
\int_{0}^{\pi/6} \frac{2\sin(2x)}{1+\cos(2x)}\,dx = -\int_{u=2}^{u=3/2} \frac{du}{u} = \int_{u=3/2}^{u=2} \frac{du}{u}.
Como \displaystyle\int \frac{du}{u} = \ln(u), temos
\int_{3/2}^{2} \frac{du}{u} = \bigl[\ln(u)\bigr]_{3/2}^{2} = \ln(2) - \ln\bigl(\tfrac32\bigr).

Passo 5

Simplificando a diferença de logaritmos:
\ln(2) - \ln\bigl(\tfrac32\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{2}{3/2}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

Resposta

\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)

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