\int_{0}^{\pi / 4} \frac{2 \tan x \operatorname{sec} ^{2} x}{1+\tan ^{2} x} d x
Subst.: u=1+\tan ^{2} x \Rightarrow d u=2 \tan x \operatorname{sec} ^{2} x d x. Limites: 1 \rightarrow 2.
\int_{1}^{2} \frac{d u}{u}=\ln 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} \frac{2\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x}{1+\tan^{2}x}\,dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição (u-substituição).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + \tan^{2}x,
pois o denominador é exatamente 1+\tan^{2}x. Derivando, temos
du = 2\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 3

Agora ajustamos os limites em função de u:
para x=0, \tan0=0 leva a u=1+0=1;
para x=\pi/4, \tan(\pi/4)=1 leva a u=1+1=2.

Passo 4

Substituindo na integral original, o numerador 2\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx vira du e o denominador 1+\tan^{2}x vira u. Assim,
\int_{0}^{\pi/4} \frac{2\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x}{1+\tan^{2}x}\,dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

A integral de 1/u é o logaritmo natural. Portanto,
\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert \Big|_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.

Resposta

\ln 2

Exercícios relacionados