1. \int x \sqrt{x^{2}+1} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{1}{3}\left(x^{2}+1\right)^{3 / 2}+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição. Vamos usar uma mudança de variável que torne o integrando mais simples, aplicando em seguida a regra da potência para integrar.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2}+1,
de onde
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral, obtemos
\int x \sqrt{x^{2}+1}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{\tfrac{1}{2}}\,du.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência para integrar u^{1/2}:
\int u^{\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{u^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac{3}{2}}.
Logo,
\frac{1}{2}\int u^{\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac{3}{2}} = \frac{1}{3}\,u^{\tfrac{3}{2}} + C.

Passo 4

Retornando à variável x pela substituição u = x^{2}+1, ficamos com
\frac{1}{3}\,(x^{2}+1)^{\tfrac{3}{2}} + C.

Resposta

\frac{1}{3}\,(x^{2}+1)^{\tfrac{3}{2}} + C

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