\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{2+e^{x}} d x
Subst.: u=2+e^{x} \Rightarrow d u=e^{x} d x. Limites: 3 \rightarrow 5.
\int_{3}^{5} \frac{d u}{u}=\ln 5-\ln 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{2 + e^{x}}\,dx.
O conteúdo é técnica de substituição em integrais. Vamos escolher uma mudança de variável que simplify o denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + e^{x},
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du = e^{x}\,dx.
Com isso, o numerador e^{x}\,dx vira simplesmente du, e a integral se transforma numa integral de du/u.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração. Quando x=0, temos
u = 2 + e^{0} = 2 + 1 = 3.
Quando x = \ln 3, temos
u = 2 + e^{\ln 3} = 2 + 3 = 5.
Portanto os novos limites são de u=3 até u=5.

Passo 4

Substituindo tudo, a integral original fica
\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{2 + e^{x}}\,dx = \int_{3}^{5} \frac{du}{u} = \bigl[\ln u\bigr]_{3}^{5} = \ln 5 - \ln 3.

Resposta

\ln 5 - \ln 3

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