\int \frac{d x}{x^{2}+6 x+13}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{2} + 6x + 13}
Esse é um caso clássico de integral de função racional cujo denominador é um quadrado perfeito acrescido de constante. Vamos completar o quadrado no denominador e usar a fórmula
\int \frac{du}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{u}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x^{2} + 6x + 13. Observe que
x^{2} + 6x + 13 = (x^{2} + 6x + 9) + 4 = (x+3)^{2} + 4.

Passo 3

Fazemos a troca de variável
u = x + 3, \quad du = dx.
Então a integral vira
\int \frac{dx}{x^{2} + 6x + 13} = \int \frac{du}{u^{2} + 4}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula padrão com a^{2}=4, logo a=2:
\int \frac{du}{u^{2} + 2^{2}} = \frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, onde u = x+3, concluímos que
\int \frac{dx}{x^{2} + 6x + 13} = \frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x+3}{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x+3}{2}\bigr) + C

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