3 Uma empresa observa que seu faturamento está crescendo a uma taxa de juros compostos de 4 \% ao semestre nos últimos anos. Mantida esta tendência, calcular em quantos anos o faturamento irá triplicar.

Passo 1

O enunciado diz que o faturamento cresce a uma taxa de juros compostos de 4\% ao semestre e pede em quantos anos o faturamento triplica. Vamos usar a fórmula de juros compostos para relacionar valor final, valor inicial, taxa e número de períodos.

Passo 2

Na capitalização composta, o valor após n semestres é dado por
F = F_0 \,(1 + i)^{n},
onde F_0 é o faturamento inicial e i é a taxa por período. Aqui i = 0,04.

Passo 3

Queremos que o faturamento final seja três vezes o inicial, ou seja
\frac{F}{F_0} = 3 \quad\Longrightarrow\quad (1{+}0,04)^{n} = 3.
Para achar n, aplicamos logaritmo em ambos os lados:
n = \frac{\ln(3)}{\ln(1,04)}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente:
\ln(3) \approx 1{,}09861, \quad \ln(1,04) \approx 0{,}03922,
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n \approx \frac{1{,}09861}{0{,}03922} \approx 28{,}0\quad\text{semetres}.

Passo 5

Cada semestre tem 0,5 ano, então em anos o tempo é
t = n \times 0,5 \approx 28 \times 0,5 = 14\\ \text{anos}.

Resposta

O faturamento irá triplicar em aproximadamente 14 anos.

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