1. \int \frac{d x}{\operatorname{sen}^{2}(3 x)} \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad-\frac{1}{3} \operatorname{cotg}(3 x)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\operatorname{sen}^{2}(3x)},
que é uma integral de função trigonométrica. Vamos usar substituição adequada e a relação entre a derivada da cotangente e o cosseno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x,
de onde
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, note que
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(3x)} = \csc^{2}(u),
então
\int \frac{dx}{\operatorname{sen}^{2}(3x)} = \int \csc^{2}(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int \csc^{2}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr) = -\,\csc^{2}(u),
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\int \csc^{2}(u)\,du = -\,\cot u + C.
Portanto
\frac{1}{3}\,\int \csc^{2}(u)\,du = \frac{1}{3}\bigl(-\cot u\bigr) + C = -\frac{1}{3}\,\cot u + C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u=3x, obtemos
-\frac{1}{3}\,\cot(3x) + C.

Resposta

-\frac{1}{3}\,\operatorname{cotg}(3x) + C

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