9 . \int \operatorname{sen}^{2} x \cos x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad \frac{1}{3} \operatorname{sen}^{3} x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{2}x \,\cos x\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas usando o método de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x
de onde
du = \cos x\,dx.
Assim, o fator \cos x\,dx do integrando vira simplesmente du.

Passo 3

Substituindo em \int \sin^{2}x \cos x\,dx, obtemos
\int u^{2}\,du,
que é uma integral polinomial fácil de resolver.

Passo 4

Calculando a integral em u, temos
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Voltando à variável original u=\sin x, concluímos
\int \sin^{2}x \,\cos x\,dx = \frac{\sin^{3}x}{3} + C.

Resposta

\frac{\sin^{3}x}{3} + C

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