1. \int \tan (2 x) d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .\left(\right. resp. \left.\quad-\frac{1}{2} \ln |\cos (2 x)|+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan(2x)\,dx
O conteúdo envolvido é a integração de função trigonométrica usando substituição.

Passo 2

Escrevemos \tan(2x) como razão de seno e cosseno:
\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}.
Para simplificar a integral, fazemos a substituição
u = \cos(2x).

Passo 3

Calculamos du. Como
u = \cos(2x),
temos
du = -2\sin(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Substituindo em \int \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\,dx, obtemos
\int \tan(2x)\,dx = \int \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural, logo
-\tfrac{1}{2}\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável x com u=\cos(2x), resulta
-\tfrac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C

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