\int\left(e^{-x}+4^{x}\right) dx

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int\bigl(e^{-x}+4^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de funções exponenciais, e vamos precisar das fórmulas \displaystyle \int e^{a x}\,dx = \frac{e^{a x}}{a} e \displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a}.

Passo 2

Para a parte \displaystyle \int e^{-x}\,dx usamos \displaystyle a=-1, portanto
\int e^{-x}\,dx = \frac{e^{-x}}{-1} = -e^{-x}.

Passo 3

Para a parte \displaystyle \int 4^{x}\,dx aplicamos \displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} com a=4, resultando em
\int 4^{x}\,dx = \frac{4^{x}}{\ln 4}.

Passo 4

Somando as duas parcelas e incluindo a constante de integração C, temos
\int\bigl(e^{-x}+4^{x}\bigr)\,dx = -e^{-x} + \frac{4^{x}}{\ln 4} + C.

Resposta

-e^{-x} + \frac{4^{x}}{\ln 4} + C

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