\int\left(2 e^{x}-3 e^{-2 x}\right) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(2e^{x}-3e^{-2x}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é integração de exponenciais, em que usamos a regra
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos a soma em duas integrais:
\int\bigl(2e^{x}-3e^{-2x}\bigr)\,dx = 2\int e^{x}\,dx \;-\; 3\int e^{-2x}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte usamos \int e^{x}\,dx = e^{x} + C. Logo,
2\int e^{x}\,dx = 2e^{x}.

Passo 4

Para a segunda parte usamos \int e^{-2x}\,dx = \frac{1}{-2}e^{-2x} + C. Assim,
-3\int e^{-2x}\,dx = -3\cdot\Bigl(\frac{1}{-2}e^{-2x}\Bigr) = \frac{3}{2}e^{-2x}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(2e^{x}-3e^{-2x}\bigr)\,dx = 2e^{x} + \frac{3}{2}e^{-2x} + C.

Resposta

2e^{x} + \frac{3}{2}e^{-2x} + C

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