\int x^{2} \cos \left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de x^{2} por \cos\bigl(x^{3}\bigr). O resultado deve ser uma primitiva (função cuja derivada é a integranda) mais uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Ideia que vamos usar: substituição (troca de variável). Vou explicar o porquê de usar essa técnica de forma bem didática.
Quando a integranda contém uma função composta, por exemplo \cos\bigl(x^{3}\bigr), e também aparece em multiplicação a derivada (ou uma parte proporcional da derivada) do interior dessa função, é conveniente fazer a troca u= (interior). A razão é que a derivada do interior transforma dx multiplicado por algum fator em du, simplificando a integral para uma forma conhecida.

Passo 3

Escolha da substituição: observe o interior da função cosseno, que é x^{3}. Faz sentido tentar
u = x^{3}.
Agora calcule du. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = 3x^{2}\,dx.
Essa relação nos mostra que x^{2}\,dx aparece naturalmente: isolando,
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Esse é exatamente o fator que multiplicava o cosseno na integranda, então a substituição se encaixa perfeitamente.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u: substituímos \cos\bigl(x^{3}\bigr) por \cos(u) e x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}\,du. Assim
\int x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{1}{3}\,du.
Como \dfrac{1}{3} é constante, pode sair da integral:
\int x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora calcular \displaystyle \int \cos(u)\,du. Esta é uma integral básica: uma primitiva de \cos(u) é \sin(u), porque a derivada de \sin(u) é \cos(u). Portanto
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x: lembrando que u=x^{3}, substituímos de volta:
\frac{1}{3}\sin(u) + C = \frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}\bigr) + C.
Pronto — essa é a primitiva que procurávamos.

Passo 7

Verificação (útil para a prova): vamos derivar a resposta e mostrar que volta a dar a integranda. Diferenciando \displaystyle \frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}\bigr) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\right] = \frac{1}{3}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) = \frac{1}{3}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2} = x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr),
que é exatamente a integranda. Assim a primitiva está correta.

Passo 8

Exemplo adicional curto (para fixar a técnica): calcular \displaystyle \int x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx. Fazemos a mesma ideia: u=x^{2}, então du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{1}{2}du. A integral vira \dfrac{1}{2}\int \sin(u)\,du = -\dfrac{1}{2}\cos(u)+C = -\dfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr)+C. Note a semelhança do procedimento: identificar o interior, derivar, trocar e integrar uma função simples.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}\bigr)+C

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