Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a integranda é o produto de por
. O resultado deve ser uma primitiva (função cuja derivada é a integranda) mais uma constante arbitrária de integração.
Informações dadas: a integranda é o produto de
Passo 2
Ideia que vamos usar: substituição (troca de variável). Vou explicar o porquê de usar essa técnica de forma bem didática.
Quando a integranda contém uma função composta, por exemplo , e também aparece em multiplicação a derivada (ou uma parte proporcional da derivada) do interior dessa função, é conveniente fazer a troca
(interior). A razão é que a derivada do interior transforma
multiplicado por algum fator em
, simplificando a integral para uma forma conhecida.
Quando a integranda contém uma função composta, por exemplo
Passo 3
Escolha da substituição: observe o interior da função cosseno, que é
. Faz sentido tentar
Agora calcule
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Essa relação nos mostra que
aparece naturalmente: isolando,
Esse é exatamente o fator que multiplicava o cosseno na integranda, então a substituição se encaixa perfeitamente.
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
: substituímos
por
e
por
. Assim
Como
é constante, pode sair da integral:
Passo 5
Agora calcular
. Esta é uma integral básica: uma primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
: lembrando que
, substituímos de volta:
Pronto — essa é a primitiva que procurávamos.
Passo 7
Verificação (útil para a prova): vamos derivar a resposta e mostrar que volta a dar a integranda. Diferenciando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente a integranda. Assim a primitiva está correta.
Passo 8
Exemplo adicional curto (para fixar a técnica): calcular
. Fazemos a mesma ideia:
, então
e
. A integral vira
. Note a semelhança do procedimento: identificar o interior, derivar, trocar e integrar uma função simples.