\int\left(1-\operatorname{cotg}^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(1 - \cot^2 x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar a identidade pitagórica das funções trigonométricas que relaciona \cot x e \csc x, e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade
1 + \cot^2 x = \csc^2 x
para reescrever o integrando. Isolando 1 - \cot^2 x obtemos
1 - \cot^2 x = 1 - \bigl(\csc^2 x - 1\bigr) = 2 - \csc^2 x.
Portanto
\int\bigl(1 - \cot^2 x\bigr)\,dx = \int\bigl(2 - \csc^2 x\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
\displaystyle \int 2\,dx = 2x.
\displaystyle \int \csc^2 x\,dx = -\cot x.
Juntando,
\int\bigl(2 - \csc^2 x\bigr)\,dx = 2x - \bigl(-\cot x\bigr) + C = 2x + \cot x + C.

Resposta

2x + \cot x + C.

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