\int\left(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1},
ou seja, queremos calcular
\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.
O conteúdo usado será a linearidade da integral e as primitivas conhecidas de \tfrac{1}{x} e de \tfrac{1}{x^{2}+1}.

Passo 2

Pela propriedade da linearidade, podemos escrever
\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx =\int\frac{1}{x}\,dx \;-\;5\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

A primitiva de \frac{1}{x} é
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 4

A primitiva de \frac{1}{x^{2}+1} é
\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).
Multiplicando por -5, obtemos
-5\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = -5\,\arctan(x).

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, a primitiva geral é
\ln\lvert x\rvert \;-\;5\,\arctan(x) + C.

Resposta

\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx =\ln\lvert x\rvert -5\,\arctan(x) + C.

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