\int \frac{\mathrm{dx}}{3 \mathrm{x}-7}.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função \frac{1}{3x-7}. O conteúdo aqui é integração de função racional simples, que a gente resolve usando substituição de uma função linear do tipo u=3x-7.

Passo 2

Fazendo a troca de variável u=3x-7, temos
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral original:
\int \frac{dx}{3x-7} = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \frac{du}{u}.

Passo 3

A integral \displaystyle \int \frac{du}{u} é \ln\lvert u\rvert + C. Logo,
\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln\lvert u\rvert + C = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x-7\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\lvert 3x-7\rvert + C

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