Seja \mathcal{C} a curva com equações paramétricas x=2-t^{3}, y=2 t-1 \mathrm{e} z=\ln (t). Responda:
(a) Determine as coordenadas de um ponto P \in \mathbb{R}^{3} em que a curva \mathcal{C} intersepta o plano x y.
(b) Determine as equações paramétricas da reta \gamma tangente à curva \mathcal{C} no ponto P obtido no item anterior.

Passo 1

O enunciado define a curva \mathcal{C} em \mathbb{R}^3 por
x=2-t^3,\quad y=2t-1,\quad z=\ln(t).
Pede-se (a) o ponto P em que \mathcal{C} intersecta o plano xy (isto é, onde z=0) e (b) as equações paramétricas da reta tangente \gamma a \mathcal{C} em P. Para resolver, usaremos a condição z=0 e o vetor derivada \mathbf r'(t).

Passo 2

Para achar o parâmetro t em que a curva cruza o plano xy, impõe-se
z=\ln(t)=0.
Logo,
\ln(t)=0\quad\Longrightarrow\quad t=1.

Passo 3

Em t=1 calculamos as coordenadas (x,y,z):
x(1)=2-1^3=1,\qquad y(1)=2\cdot1-1=1,\qquad z(1)=0.
Portanto,
P=(1,1,0).

Passo 4

O vetor tangente à curva é dado por
\mathbf r'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr) =\bigl(-3t^2,\;2,\;1/t\bigr).
Em t=1 isso vale
\mathbf v=\mathbf r'(1)=(-3,\,2,\,1).

Passo 5

A reta \gamma tangente em P passa por P e tem direção \mathbf v. Com parâmetro s, suas equações são
x=1-3s,\quad y=1+2s,\quad z=0+1\cdot s.

Resposta

(a) P=(1,1,0).
(b) x=1-3s,\quad y=1+2s,\quad z=s.

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