\int \operatorname{cotg}(5 x-7) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{cotg}(5x - 7)\,dx.
O conteúdo principal é a integração de uma função trigonométrica do tipo \operatorname{cotg}(u) usando substituição e a fórmula conhecida
\int \operatorname{cotg}(u)\,du = \ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C.

Passo 2

Lembrando a definição de cotangente, temos
\operatorname{cotg}(u) = \frac{\cos(u)}{\sin(u)},
de modo que, ao integrar em relação a u, fazemos a substituição natural v = \sin(u), pois dv = \cos(u)\,du. Assim,
\int \operatorname{cotg}(u)\,du = \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)}\,du = \int \frac{dv}{v} = \ln\bigl|v\bigr| + C = \ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C.

Passo 3

Agora aplicamos essa ideia à nossa integral, com a substituição
u = 5x - 7 \quad\Longrightarrow\quad du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.
Substituindo em \displaystyle \int \operatorname{cotg}(5x - 7)\,dx, obtemos
\int \operatorname{cotg}(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int \operatorname{cotg}(u)\,du.

Passo 4

Usando a fórmula de \int \operatorname{cotg}(u)\,du do Passo 2, fica
\frac{1}{5} \int \operatorname{cotg}(u)\,du = \frac{1}{5} \ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C = \frac{1}{5} \ln\bigl|\sin(5x - 7)\bigr| + C.

Resposta

\int \operatorname{cotg}(5x - 7)\,dx = \frac{1}{5}\,\ln\bigl|\sin(5x - 7)\bigr| + C.

Exercícios relacionados