\int \operatorname{tg} 2 x \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan(2x)\,dx.
O conteúdo é integração de função trigonométrica usando substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x, \quad du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Substituindo na integral, obtemos
\int \tan(2x)\,dx = \int \tan(u)\,\frac{du}{2} = \frac12\int \tan(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
Logo,
\frac12\int \tan(u)\,du = -\frac12\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
Voltando a u=2x,
-\frac12\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C.

Resposta

-\frac12\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C.

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