\int \frac{x d x}{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int \frac{x}{x^2+1}\,dx.
Aqui vamos usar o método de substituição, pois o numerador x\,dx é derivada quase direta do denominador x^2+1.

Passo 2

Definimos a substituição \displaystyle u = x^2 + 1.
Diferenciando, obtemos \displaystyle du = 2x\,dx,
ou seja \displaystyle x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral, fica
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{1}{2}\,du = \tfrac12 \int \frac{du}{u}.

Passo 3

Sabemos que \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Portanto
\tfrac12 \int \frac{du}{u} = \tfrac12 \ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x, usamos u = x^2 + 1. Assim
\tfrac12 \ln\bigl|x^2+1\bigr| + C.
Como x^2+1>0 para todo x, podemos escrever \tfrac12 \ln(x^2+1) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl(x^2+1\bigr) + C

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