\int \frac{1}{\operatorname{sen}^{2} 3 x} \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(3x)}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas; vamos usar a identidade \frac{1}{\operatorname{sen}^{2}\theta}=\csc^{2}\theta
e a técnica de substituição.

Passo 2

Reescrevendo a integral com a notação de cosecante, obtemos
\int \frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(3x)}\,dx =\int \csc^{2}(3x)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=3x \quad\Longrightarrow\quad du=3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Assim a integral passa a ser
\int \csc^{2}(3x)\,dx =\int \csc^{2}(u)\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int \csc^{2}(u)\,du.

Passo 4

Usamos a primitiva conhecida
\int \csc^{2}(u)\,du=-\cot(u)+C.
Logo
\frac{1}{3}\int \csc^{2}(u)\,du =\frac{1}{3}\bigl(-\cot(u)\bigr)+C =-\frac{1}{3}\cot(u)+C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u=3x e obtemos
-\frac{1}{3}\cot(u)+C =-\frac{1}{3}\cot(3x)+C.

Resposta

-\frac{1}{3}\cot(3x)+C

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