\int\left(x^{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2} \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(x^{2} + \tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\bigr)^{2}\,dx.
Para resolver vamos expandir o quadrado e depois aplicar a regra de potências \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Expandimos o integrando usando x^{-1/3} = \tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}:
\bigl(x^{2} + x^{-1/3}\bigr)^{2} = x^{4} + 2\,x^{2 + (-1/3)} + x^{-2/3} = x^{4} + 2\,x^{5/3} + x^{-2/3}.

Passo 3

Reescrevemos a integral como soma de três potências:
\int\bigl(x^{2} + x^{-1/3}\bigr)^{2}dx = \int x^{4}dx \;+\; 2\int x^{5/3}dx \;+\; \int x^{-2/3}dx.

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
\int x^{4}dx = \frac{x^{5}}{5}.
2\int x^{5/3}dx = 2\cdot\frac{x^{8/3}}{8/3} = \frac{3}{4}\,x^{8/3}.
\int x^{-2/3}dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3\,x^{1/3}.

Passo 5

Somando as parcelas obtidas e incluindo a constante de integração C, chegamos à primitiva desejada.

Resposta

\frac{x^{5}}{5} \;+\; \frac{3}{4}\,x^{8/3} \;+\; 3\,x^{1/3} \;+\; C.

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