\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) d x
u=\frac{x}{2}
d u=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
O método mais direto é usar a substituição u = \tfrac{x}{2}, que transforma a integral numa mais simples em função de u.

Passo 2

Fazendo
u = \frac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{dx}{2} \quad\Longrightarrow\quad dx = 2\,du,
os limites mudam de x=0 para u=0 e de x=\tfrac{\pi}{2} para u=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan(u)\,\bigl(2\,du\bigr) = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan(u)\,du.

Passo 4

Para integrar \tan(u), lembramos que
\frac{d}{du}\bigl(\ln\lvert\cos u\rvert\bigr) = -\frac{\sin u}{\cos u} = -\tan(u),
logo uma primitiva de \tan(u) é
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl\lvert\cos u\bigr\rvert.

Passo 5

Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan(u)\,du = 2\Bigl[-\ln\bigl\lvert\cos u\bigr\rvert\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2\bigl(-\ln(\cos\tfrac{\pi}{4}) + \ln(\cos 0)\bigr).
Como \cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos0=1, temos
2\bigl(-\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + \ln1\bigr) = -2\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = -2\bigl(\tfrac12\ln2 - 0\bigr) = \ln2.

Resposta

\ln 2

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