\int(\operatorname{cosec} x-1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (\operatorname{cosec} x - 1)^{2}\,dx.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas; a estratégia mais direta é expandir o quadrado e usar integrais conhecidas de \operatorname{cosec}^2 x, \operatorname{cosec} x e constantes.

Passo 2

Expandimos o integrando:
(\operatorname{cosec} x - 1)^{2} = \operatorname{cosec}^{2}x - 2\,\operatorname{cosec} x + 1.

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de três termos:
\int (\operatorname{cosec}^{2}x - 2\,\operatorname{cosec} x + 1)\,dx = \int \operatorname{cosec}^{2}x\,dx \;-\;2\int \operatorname{cosec} x\,dx \;+\;\int 1\,dx.

Passo 4

Aplicamos integrais padrão:
\int \operatorname{cosec}^{2}x\,dx = -\cot x, \qquad \int \operatorname{cosec} x\,dx = \ln\bigl|\tan\frac{x}{2}\bigr|, \qquad \int 1\,dx = x.

Passo 5

Substituindo no somatório:
\int (\operatorname{cosec} x - 1)^{2}\,dx = -\cot x \;-\;2\,\ln\Bigl|\tan\frac{x}{2}\Bigr| \;+\; x \;+\; C.

Resposta

-\cot x - 2\ln\!\Bigl|\tan\frac{x}{2}\Bigr| + x + C

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