Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Encontre a distribuição, o valor esperado e a variância de Y.

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda perfeita (probabilidade de cara p=\tfrac12) é lançada 3 vezes de forma independente. Definimos a variável aleatória Y como o número de caras obtidas. Para resolver, vamos usar a distribuição binomial, cujas fórmulas conhecemos para calcular as probabilidades, o valor esperado e a variância.

Passo 2

Cada lançamento é uma Bernoulli de parâmetro p=\tfrac12 e Y é a soma de 3 lançamentos independentes. Logo
Y \sim \mathrm{Binomial}(n=3,\;p=\tfrac12),
isto é, para y=0,1,2,3,
P(Y=y) =\binom{3}{y}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^y\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3-y} =\binom{3}{y}2^{-3}.
Substituindo cada valor de y, obtemos:
P(Y=0)=\binom{3}{0}2^{-3}=1\cdot\frac1{8}=\frac18,
P(Y=1)=\binom{3}{1}2^{-3}=3\cdot\frac1{8}=\frac{3}{8},
P(Y=2)=\binom{3}{2}2^{-3}=3\cdot\frac1{8}=\frac{3}{8},
P(Y=3)=\binom{3}{3}2^{-3}=1\cdot\frac1{8}=\frac18.

Passo 3

Para a distribuição binomial vale a fórmula do valor esperado
\mathbb{E}[Y]=n\,p=3\cdot\tfrac12=\tfrac32=1,5.

Passo 4

E a variância de Y em uma binomial é
\mathrm{Var}(Y)=n\,p\,(1-p)=3\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac34=0,75.

Resposta

Distribuição de Y: P(Y=0)=\tfrac18,\;P(Y=1)=\tfrac{3}{8},\;P(Y=2)=\tfrac{3}{8},\;P(Y=3)=\tfrac18.
Valor esperado: \mathbb{E}[Y]=1,5.
Variância: \mathrm{Var}(Y)=0,75.

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