\int_{0}^{2} \frac{2 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{\frac{1}{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{2\,x^{2}}{\bigl(x^{3}-1\bigr)^{\tfrac13}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, já que vemos x^{3}-1 no denominador e x^{2}\,dx no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3}-1,
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du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Quando x=0, u=0^{3}-1=-1. Quando x=2, u=2^{3}-1=7.

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
\int_{x=0}^{x=2} \frac{2\,x^{2}}{(x^{3}-1)^{1/3}}\,dx = \int_{u=-1}^{u=7} \frac{2}{u^{1/3}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{2}{3}\int_{-1}^{7} u^{-\tfrac13}\,du.
Sabemos que
\int u^{-\tfrac13}\,du = \frac{u^{\tfrac23}}{\tfrac23} = \frac{3}{2}\,u^{\tfrac23}.
Multiplicando por \tfrac{2}{3} dá antiderivada
u^{\tfrac23}.

Passo 4

Voltando a x e avaliando de -1 a 7, temos
\bigl(x^{3}-1\bigr)^{\tfrac23}\Big|_{0}^{2} = \bigl(7\bigr)^{\tfrac23} - \bigl(-1\bigr)^{\tfrac23}.
Como a raiz cúbica de -1 é -1 e seu quadrado é 1, então
(-1)^{\tfrac23}=1
e o valor final é
7^{\tfrac23} - 1.

Resposta

7^{\tfrac23} - 1.

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