\int_{0}^{1 / 2} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal é encontrar uma primitiva de \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, que sabemos ser \arcsin(x).

Passo 2

Fatoramos a constante fora da integral:
\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =4\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(x)\bigr] =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
uma primitiva de \tfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} é \arcsin(x).

Passo 3

Logo, a integral indefinida é
4\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =4\,\arcsin(x)+C.
Aplicamos agora os limites de 0 a \tfrac{1}{2}:
4\bigl[\arcsin(x)\bigr]_{0}^{\tfrac{1}{2}} =4\bigl(\arcsin(\tfrac{1}{2})-\arcsin(0)\bigr).

Passo 4

Sabemos que \arcsin(\tfrac{1}{2})=\tfrac{\pi}{6} e \arcsin(0)=0. Substituindo:
4\Bigl(\tfrac{\pi}{6}-0\Bigr) =\frac{4\pi}{6} =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\frac{2\pi}{3}

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