\int_{2}^{5} \frac{x d x}{\sqrt{1+x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{5} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma substituição conveniente (ou observar que a derivada de \sqrt{1+x^2} é exatamente x/\sqrt{1+x^2}).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + x^2, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=2, u=1+2^2=5. Quando x=5, u=1+5^2=26. Assim a integral vira
\int_{u=5}^{u=26} \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{5}^{26} u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Calculamos a antiderivada em u:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac12
\frac{1}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\cdot\bigl(2\,u^{\tfrac12}\bigr) = u^{\tfrac12}.

Passo 4

Voltando a x e avaliando de u=5 a u=26:
u^{\tfrac12}\Bigl|_{5}^{26} = \sqrt{26}-\sqrt{5}.

Resposta

\sqrt{26}-\sqrt{5}

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