\int_{0}^{\pi / 4}(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x)^{2} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} (\operatorname{sec} x + \tan x)^{2}\,dx.
O conteúdo aqui é manipulação de identidade trigonométrica e integração de funções básicas como \operatorname{sec}^2 x e \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Expandimos o quadrado e usamos a identidade \tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x - 1:
(\operatorname{sec} x + \tan x)^{2} = \operatorname{sec}^2 x + 2\operatorname{sec} x\tan x + \tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x + 2\operatorname{sec} x\tan x + (\operatorname{sec}^2 x - 1) = 2\operatorname{sec}^2 x + 2\operatorname{sec} x\tan x - 1.

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de termos mais simples:
\int_{0}^{\pi/4}(2\operatorname{sec}^2 x + 2\operatorname{sec} x\tan x - 1)\,dx = 2\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 x\,dx + 2\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec} x\tan x\,dx - \int_{0}^{\pi/4}1\,dx.

Passo 4

Conhecendo as antiderivadas
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x, \quad \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x, \quad \int 1\,dx = x,
temos um primitivo
F(x) = 2\tan x + 2\operatorname{sec} x - x.

Passo 5

Avaliamos de 0 a \pi/4:
em x = \pi/4
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 2\cdot 1 + 2\sqrt{2} - \tfrac{\pi}{4} = 2 + 2\sqrt{2} - \tfrac{\pi}{4},
em x = 0
F(0) = 2\cdot 0 + 2\cdot 1 - 0 = 2.
Logo, a integral vale
\bigl[F(\tfrac{\pi}{4}) - F(0)\bigr] = \bigl(2 + 2\sqrt{2} - \tfrac{\pi}{4}\bigr) - 2 = 2\sqrt{2} - \tfrac{\pi}{4}.

Resposta

2\sqrt{2} \;-\;\frac{\pi}{4}.

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