\int_{2}^{5} \frac{x d x}{\sqrt{1+x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{2}^{5} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx
Esse tipo de integral costuma ser resolvido com substituição, pois vemos x\,dx e uma função de 1+x^{2} dentro da raiz.

Passo 2

Fazemos a troca de variável u = 1 + x^{2}, então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=2, u=1+2^{2}=5; quando x=5, u=1+5^{2}=26. Substituindo na integral, fica
I = \frac12 \int_{5}^{26} u^{-1/2}\,du.

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de u^{-1/2}:
\int u^{-1/2}\,du = 2\,u^{1/2} + C.
Logo
I = \frac12 \bigl[2\,u^{1/2}\bigr]_{5}^{26} = \bigl[u^{1/2}\bigr]_{5}^{26}.

Passo 4

Aplicando os limites em u, temos
I = \sqrt{26} \;-\;\sqrt{5}.

Resposta

\sqrt{26} - \sqrt{5}

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