\int_{-\infty}^{0} \frac{4 x}{\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+1\right)^{5}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
\int_{-\infty}^{0} \frac{4x}{\sqrt[3]{\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{5}}}\,dx.
O conteúdo envolve integrais impróprias e mudança de variável para obter uma primitiva.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x^{2}+1, \quad du = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{6}.
Então
4x\,dx = \frac{4}{6}\,du = \frac{2}{3}\,du
e o integrando fica
\frac{4x}{(3x^{2}+1)^{5/3}}\,dx = \frac{2}{3}\,\frac{du}{u^{5/3}}.

Passo 3

Integramos em u:
\int \frac{2}{3}\,u^{-\tfrac{5}{3}}\,du = \frac{2}{3}\,\frac{u^{-\tfrac{2}{3}}}{-\tfrac{2}{3}} = -\,u^{-\tfrac{2}{3}} = -\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{-\tfrac{2}{3}}.
Assim, uma primitiva é
F(x) = -\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite na integral imprópria:
\int_{-\infty}^{0}\dots = \lim_{a\to-\infty}\bigl[F(0)-F(a)\bigr].
Em x=0:
F(0) = -\bigl(1\bigr)^{-\tfrac{2}{3}} = -1.
Quando x\to -\infty,
3x^{2}+1\to\infty \quad\Longrightarrow\quad \bigl(3x^{2}+1\bigr)^{-\tfrac{2}{3}}\to 0 \quad\Longrightarrow\quad F(x)\to 0.

Passo 5

Portanto
\int_{-\infty}^{0} \frac{4x}{\sqrt[3]{\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{5}}}\,dx = \bigl(-1\bigr) - 0 = -1.

Resposta

-1

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