{ }^{a} Questão. (35 pontos) Encontre a solução geral de y^{i v}-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral de
y^{(iv)} - y = 0.
O conteúdo é EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes e usaremos o polinômio característico.

Passo 2

Suponha uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo em y^{(iv)}-y=0 obtemos o polinômio característico
r^4 - 1 = 0.

Passo 3

Para resolver
r^4 = 1
escrevemos as raízes como r = e^{i\frac{2\pi k}{4}}, com k=0,1,2,3. Isso dá
r_1 = 1,\quad r_2 = -1,\quad r_3 = i,\quad r_4 = -i.

Passo 4

As quatro soluções fundamentais são
e^{x},\quad e^{-x},\quad e^{ix},\quad e^{-ix}.
Para obter soluções reais, usamos as identidades de Euler:
e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x), \quad e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x).

Passo 5

Logo, a solução geral é combinação linear das soluções reais:
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 \cos(x) + C_4 \sin(x),
onde C_1, C_2, C_3, C_4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 \cos(x) + C_4 \sin(x).

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