Questão. (30 pontos) Se usarmos
no método de Euler para resolver o PVI
, mostre que o erro no primeiro passo é menor que
.
Passo 1
O enunciado dá o PVI
e pede para usar o método de Euler com passo
e mostrar que o erro no primeiro passo satisfaz
Vamos usar a fórmula do erro local de truncamento do método de Euler e estimar a segunda derivada da solução exata.
Passo 2
O erro local de truncamento no primeiro passo é
e existe
tal que
Logo
Passo 3
Para estimar
, primeiro achamos a solução exata. O fator integrante é
, então
e
Impondo
dá
, logo
. Assim
Diferenciando duas vezes:
Passo 4
Note que em
,
é crescente porque
Então
E como
temos
Passo 5
Substituindo em
com
e
, obtemos
Resposta
Mostramos que o erro no primeiro passo satisfaz