\int_{4}^{9} \frac{t-3}{\sqrt{3}} \cdot d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{4}^{9} \frac{t-3}{\sqrt{3}}\,dt.
O conteúdo aqui é integração de polinômio e uso de fator constante.

Passo 2

Extraímos a constante 1/\sqrt{3} para fora da integral:
\int_{4}^{9} \frac{t-3}{\sqrt{3}}\,dt = \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{4}^{9}(t-3)\,dt.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de t-3:
\int (t-3)\,dt = \frac{t^{2}}{2}-3t + C.

Passo 4

Aplicamos os limites de 4 a 9 na antiderivada:
\left[\frac{t^{2}}{2}-3t\right]_{4}^{9} = \biggl(\frac{9^{2}}{2}-3\cdot9\biggr) - \biggl(\frac{4^{2}}{2}-3\cdot4\biggr).
Calculando cada parte:
\frac{9^{2}}{2}-3\cdot9 = \frac{81}{2}-27 = \frac{81-54}{2} = \frac{27}{2},
\frac{4^{2}}{2}-3\cdot4 = \frac{16}{2}-12 = 8-12 = -4 = -\frac{8}{2}.
Logo
\left[\frac{t^{2}}{2}-3t\right]_{4}^{9} = \frac{27}{2} - \bigl(-\tfrac{8}{2}\bigr) = \frac{35}{2}.

Passo 5

Multiplicamos pelo fator 1/\sqrt{3}:
\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{35}{2} = \frac{35}{2\sqrt{3}} = \frac{35\sqrt{3}}{6}.

Resposta

\frac{35}{2\sqrt{3}} \quad\text{ou}\quad \frac{35\sqrt{3}}{6}.

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