\int_{1}^{3} \frac{1}{x \cdot \sqrt{\ln x}} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{1}^{3} \frac{1}{x\,\sqrt{\ln x}}\,dx.
O conteúdo principal é usar substituição para transformar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \ln x,
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dt = \frac{1}{x}\,dx.
Assim, o integrando
\frac{1}{x\,\sqrt{\ln x}}\,dx
vira
\frac{1}{\sqrt{t}}\,dt.

Passo 3

Ajustamos os limites da integração em função de t:
  • Quando x=1, temos t=\ln1=0.
  • Quando x=3, temos t=\ln3.
    Portanto a integral se transforma em
\int_{0}^{\ln3} t^{-\frac12}\,dt.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle \int t^{-\frac12}\,dt,
usamos a fórmula
\int t^{\alpha}\,dt = \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}\quad(\alpha\neq -1).
Aqui \alpha=-\tfrac12, então
\int t^{-\frac12}\,dt = \frac{t^{-\frac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{t^{\frac12}}{\tfrac12} = 2\sqrt{t}.

Passo 5

Avaliaremos de 0 a \ln3:
\left.2\sqrt{t}\right|_{0}^{\ln3} = 2\sqrt{\ln3} - 2\sqrt{0} = 2\sqrt{\ln3}.

Resposta

2\sqrt{\ln3}

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