\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\left(1+x^{3}\right)^{2}} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal é o uso de substituição (mudança de variável) para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + x^{3}.
Então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Note que x^{5}\,dx = x^{3}\cdot x^{2}\,dx. Como x^{3} = u - 1, temos
x^{5}\,dx = (u-1)\,\frac{du}{3}.
Também \bigl(1+x^{3}\bigr)^{2} = u^{2}. Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx = \int_{u(0)}^{u(1)} \frac{(u-1)\,\frac{du}{3}}{u^{2}} = \frac{1}{3}\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{u}{u^{2}} - \frac{1}{u^{2}}\Bigr)du.

Passo 4

Dentro do integrando simplificamos:
\frac{u}{u^{2}} - \frac{1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}.
Integrando em u:
\int\Bigl(\frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}\Bigr)du = \ln u + \frac{1}{u} + C.
Logo
\frac{1}{3}\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}\Bigr)du = \frac{1}{3}\Bigl[\ln u + \tfrac{1}{u}\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 5

Avaliamo o antiderivado nos limites u=1 e u=2:
F(u) = \frac{1}{3}\bigl(\ln u + \tfrac{1}{u}\bigr).
Então
F(2) = \frac{1}{3}\Bigl(\ln 2 + \tfrac{1}{2}\Bigr), \quad F(1) = \frac{1}{3}\Bigl(\ln 1 + 1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot1 = \frac{1}{3}.

Passo 6

A integral definida vale
F(2) - F(1) = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln 2 \;-\;\frac{1}{6}

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